Usos y aplicaciones

Hay bastantes tipos de ejemplos de aplicación de máximos y mínimos en la vida real. Un clásico es el de construir con determinada cantidad de material, un recipiente de volumen máximo. 

Aquí va el enunciado, planteamiento, solución y análisis: 

De una lamina de 120 cm. X 75 cm, se desea construir una caja sin tapa, del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales. 

¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo? 
¿Cuál es el volumen máximo que puede contener? 

Al asignar X a la altura de la caja y V a su volumen, algebraicamente tendríamos: 

V = (120 - 2X) (75 - 2X) (X) 
V = 4X^3 - 390 X^2 + 9000X 

No se le pude recortar a la lámina más de 37.5 cm., por lo que la altura debe estar en el intervalo: 0<X<37.5 

Calculando el máximo en la función V = 4X3 - 390 X2 + 9000X (derivando e igualando a cero): 
V´ = 12X^2 - 780X + 9000 
12X2 - 780X + 9000 = 0 

X1 = 50 y X2 = 15 desde ahora puede descartarse el valor X = 50 por ser mayor que 37.5 

Usamos ahora la segunda derivada: 
V” = 24X - 780 sustituyendo los valores X1 = 50 y X2 = 15 en la segunda derivada: 
V” = 24 (50) - 780 = 420 por ser positivo, hay un mínimo para X = 50 
V” = 24(15) - 780 = - 420 por lo tanto se encuentra el máximo que buscamos en X = 15 

Al sustituir a la función V = 4X^3 - 390X^2 + 9000X el valor X = 15, encontramos el volumen máximo de la caja: 

V = 4(15) 3 - 390 (15)2 + 9000 (15) 
V = 60750 cm3 

La altura debe ser X = 15cm 
La longitud es (120 - 2X) = 120 - 2(15) = 90 cm. 
La anchura es (75 - 2X) = 75 - 2(15) = 45 cm. 

Criterio de la primera y segunda derivada

Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico .

Criterio de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función  es convexa en un intervalo abierto que contiene a , y  debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a  y  debe ser un máximo relativo de .

Concavidad

Se dice que una función y  = f(x) tiene convexidad hacia arriba
en el intervalo (a, b) si una recta tangente dibujada a la gráfica
de la función en uno de sus puntos a  < x < b queda por debajo
de la función. 
Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos
que la función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.


*La concavidad nos da informacion acerca de la primera derivada*

Puntos críticos

Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a,b] de definición de la función.

Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados en optimización. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas.

Punto de inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesiva hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es.

Definición de máximos y mínimo absolutos y relativos

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de

conseguir los valores máximos y mínimos de una función. También la derivada es una herramienta

muy útil para graficar funciones.

Extremos absolutos y puntos críticos

 Un problema de mucho interés es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades de

decisión. En términos matemáticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar el máximo

o el mínimo de una función y donde se alcanza este máximo o mínimo. Cuando la función es

cuadrática se pueden determinar estos valores buscando el vértice de la gráfica de este tipo de

función. Para funciones más generales, la derivada puede ayudar a resolver este problema.

Pasos de resolución de una derivada

Funciones logarítmicas

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces

logb y = x si y sólo si y = bx.

Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmoscomunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.

Notación:

  Logaritmo común:  log x = log₁₀ x

 Logaritmo natural:    ln x = log_e x 

Reglas de las derivadas de funciones trascendentes

Reglas de las derivadas de funciones algebraicas

Derivada de una constante es cero.

        d (c) = 0

        dx

Derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.

        d (x) = 1

        dx

La derivada de la suma algebraica de un número finito "n" de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.

       d (u+v-w) = dw + dv - dw

      dx                      dx    dx    dx

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante.

       d (cv) = c dv

        dx             dx

La derivada de un producto de las funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda por la derivada de la primera.

       d (uv) = udv + udw

       dx             dx        dx

La derivada de la potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función.

        d (vn) = nv n-1 dv

        dx                         dx 

Cuando y = x; se convierte en:

     d (xn) = nx n-1

     dx

La derivada del cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la función dividida por la constante.

     d (u) = 1 dw

     dx  c     c  dx

Definición de derivada

¿Qué es una derivada?

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.