Funciones logarítmicas
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.
Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces
logb y = x si y sólo si y = bx.
Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.
Logaritmos comunes y naturales
Notación:
Logaritmo común: log x = log10 x
Logaritmo natural: ln x = loge x
Reglas de las derivadas de funciones algebraicas
Derivada de una
constante es cero.
d (c) = 0
dx
Derivada de una
variable con respecto a si misma es la unidad.
d (x) = 1
dx
La derivada de la
suma algebraica de un número finito "n" de funciones es igual a la
suma algebraica de las derivadas de
las funciones.
d (u+v-w) = dw + dv - dw
dx
dx dx
dx
La derivada del
producto de una constante por una función es igual al producto de la constante.
d (cv) = c dv
dx
dx
La derivada de un
producto de las funciones es igual al producto de la primera función por la
derivada de la segunda, más el producto
de la segunda por la derivada de la primera.
d (uv) = udv + udw
dx
dx dx
La derivada de la
potencia de una función de exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada a un
exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función.
d (vn) =
nv n-1 dv
dx
dx
Cuando y = x; se
convierte en:
d (xn) = nx n-1
dx
La derivada del
cociente de una función dividida por una constante es igual a la derivada de la
función dividida por la constante.
d (u) = 1 dw
dx c c dx
Definición de derivada
¿Qué es una derivada?
En matemáticas, la derivada de
una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de
dicha función matemática, según cambie el valor de su variable
independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se
calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en
un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable
independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la
derivada de una cierta función en un punto dado.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un
punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada
punto x es esta derivada es la llamada función
derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la
derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las
herramientas principales en el área de las matemáticas conocida
como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos
vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.
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